Teori Chaos

Teori Chaos adalah teori yang diterapkan dalam banyak disiplin ilmu: matematika, programming, mikrobiologi, biologi, ilmu komputer, ekonomi, teknik, keuangan, filsafat, fisika, politik, dinamika populasi, psikologi, robotika, dan meteorologi. Teori Chaos saat ini bahkan juga diterapkan pada studi kedokteran epilepsi, khususnya pada prediksi kekejangan yang terlihat acak dengan mengamati kondisi awal.

Sejarah

Ilmuan yang pertama kali memberi petunjuk pada teori chaos adalah Henri Poincare. Tahun 1880, saat mempelajari masalah tiga badan, ia menemukan kalau ada orbit yang non periodik, namun tidak selalu mendekati atau menjauhi sebuah titik tertentu. Tahun 1989, Jacques Hadamard menerbitkan studi berpengaruh pada gerakan chaos sebuah partikel bebas yang menggulir tanpa gesekan pada permukaan dengan kelengkungan yang selalu negatif. Dalam sistem ini, yang disebut biliard Hadamard, Hadamard mampu menunjukkan kalau semua arah tidak stabil sehingga semua arah partikel tersebut menyebar secara eksponensial satu sama lain, dengan eksponen Lyapunov bernilai positif.

Katalis utama untuk perkembangan teori chaos adalah komputer elektronik. Sebagian besar matematika dalam teori chaos melibatkan iterasi berkelanjutan dari rumus matematika sederhana, yang tidak praktis dilakukan dengan tangan. Komputer elektronik membuat perhitungan berulang ini menjadi praktis, sementara gambar dan citra dimungkinkan untuk memvisualisasi sistem ini.

Ilmuan yang benar-benar menyatakan teori chaos adalah Edward Lorenz yang tertarik dalam chaos secara tidak sengaja dalam penelitiannya pada peramalan cuaca tahun 1961. Lorenz menggunakan komputer digital sederhana, Royal McBee LGP-30, untuk menjalankan simulasi cuacanya. Ia ingin melihat barisan datanya kembali dan untuk menghemat waktu ia memulai simulasinya di pertengahan arahnya. Ia mampu melakukan ini dengan memasukan cetakan data yang berkaitan dengan kondisi ini di pertengahan simulasi yang ia hitung terakhir.

Mengejutkannya cuaca yang diprediksi oleh mesin sepenuhnya berbeda dari yang dihitung sebelumnya. Lorenz melacak printout komputernya. Komputer tersebut bekerja dengan ketelitian 6 digit, namun printout ternyata membulatkan variabel ke tiga digit saja, sehingga nilai seperti 0.506127 tercetak menjadi 0.506. Perbedaan ini kecil dan sudah konsensus di masa tersebut kalau perbedaan seperti ini secara praktis tidak berpengaruh. Walau begitu, Lorenz menemukan kalau perubahan sekecil ini pada kondisi awal menghasilkan perubahan besar dalam hasil jangka panjang. Penemuan Lorenz, yang memberinya nama penarik Lorenz, menunjukkan bahkan model atmosfer yang detail tidak dapat secara umum membuat prediksi cuaca jangka panjang. Cuaca hanya dapat diprediksi hanya sekitar seminggu kedepan.

Penarik Lorenz

Ketersediaan komputer yang lebih murah dan lebih kuat memperluas keterterapan teori chaos. Saat ini, teori chaos terus menjadi daerah penelitian yang aktif, melibatkan banyak disiplin ilmu (matematika, topologi, fisika, biologi populasi, biologi, meteorologi, astrofisika, teori informasi, dsb).

Sistem Chaos

Sebuah sistem dikatakan chaos bila memenuhi tiga syarat :

1. Sensitif pada kondisi awal,
2. Memiliki sifat pencampuran topologis, dan
3. Memiliki orbit periodik yang padat

Definisi lain menggunakan cukup dua syarat pertama di atas.

Sensitivitas pada kondisi awal berarti kalau tiap titik dalam sistem demikian diperkirakan secara dekat dan manasuka lewat titik lain dengan arah masa depan yang berbeda secara signifikan. Karenanya, sebuah gangguan kecil yang manasuka pada arah sekarang dapat mengakibatkan perilaku masa depan yang berbeda secara nyata.

Walau begitu, telah ditunjukkan kalau sifat kedua dan ketiga sesungguhnya menunjukkan sensitivitas pada kondisi awal dan bila perhatian dibatasi pada selang-selang tertentu, sifat pencampuran topologis berakibat pada orbit periodik yang padat dan sensitivitas pada kondisi awal. Karenanya untuk sebagian besar kondisi yang nyata secara praktis, yaitu sensitivitas pada kondisi awal, sesungguhnya berlebih dalam definisi, karena dihasilkan dari syarat kedua dan ketiga. Yang paling menarik minat matematikawan adalah syarat-syarat topologis (syarat kedua).

Beberapa sistem dinamis, seperti peta logistik satu dimensi yang didefinisi oleh x terhadap 4x(1-x) adalah chaos dimana-mana, namun dalam banyak kasus perilaku chaos ditemukan hanya pada sebuah subset ruang fase. Kasus-kasus yang paling menarik muncul ketika perilaku chaos terjadi pada sebuah penarik, karena sejumlah besar kondisi awal akan membawa pada orbit yang memusat pada daerah chaos ini.

Cara mudah untuk memvisualisasi penarik chaos adalah dengan berawal pada sebuah titik di lembah tarikan penarik, dan cukup memplot orbit selanjutnya. Karena kondisi transitivitas topologis, hal ini kemungkinan akan menghasilkan gambaran keseluruhan penarik akhir, dan memang kedua orbit yang ditunjukkan dalam gambar di bawah adalah bentuk umum penarik Lorenz. Penarik ini dihasilkan dari sebuah model tiga dimensi sederhana sistem cuaca Lorenz. Penarik Lorenz mungkin salah satu diagram sistem chaos yang paling terkenal, mungkin karena ia bukan hanya yang pertama, namun juga yang paling kompleks dan memunculkan pola yang sangat menarik seperti bentuk sayap kupu-kupu.

Pola Penarik Lorenz

Berbeda dengan penarik titik tetap dan siklus limit, penarik yang muncul dari sistem chaos, yang disebut penarik aneh, memiliki detail dan kompleksitas tinggi. Penarik aneh muncul baik dalam sistem dinamis kontinyu (seperti sistem Lorenz) dan dalam beberapa sistem diskrit (seperti peta Henon). Sistem dinamik diskrit lain memiliki struktur penolak yang disebut himpunan Julia yang terbentuk pada perbatasan antara lembah-lembah tarikan titik-titik tetap. Himpunan Julia dapat disebut sebagai penolak aneh. Baik penarik aneh maupun himpunan Julia memiliki struktur fraktal, dan dimensi fraktalnya dapat dihitung.

Sumber

Wikipedia. Chaos Theory

Referensi lanjut

1. Alfredo Medio and Marji Lines, Nonlinear Dynamics: A Primer, Cambridge University Press, 2001
2. Applying Chaos Theory to Embedded Applications
3. Comdig.org, Complexity Digest 199.06
4. Edward N. Lorenz, “Deterministic non-periodic flow,” Journal of the Atmospheric Sciences, vol. 20, pages 130–141 (1963).
5. Florin Diacu and Philip Holmes (1996) Celestial Encounters: The Origins of Chaos and Stability, Princeton University Press.
6. Hadamard, Jacques (1898). “Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodesiques”. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 4: pp. 27–73
7. Hristu-Varsakelis, D., and Kyrtsou, C., (2008): Evidence for nonlinear asymmetric causality in US inflation, metal and stock returns, Discrete Dynamics in Nature and Society, Volume 2008, Article ID 138547, 7 pages, doi:10.1155/2008/138547.
8. Jules Henri Poincaré (1890) “Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Divergence des séries de M. Lindstedt,” Acta Mathematica, vol. 13, pages 1–270
9. Kyrtsou, C. and M. Terraza, (2003). “Is it possible to study chaotic and ARCH behaviour jointly? Application of a noisy Mackey-Glass equation with heteroskedastic errors to the Paris Stock Exchange returns series,”. Computational Economics 21 (3): 257–276.
10. Kyrtsou, C., and Vorlow, C., (2005). Complex dynamics in macroeconomics: A novel approach, in New Trends in Macroeconomics, Diebolt, C., and Kyrtsou, C., (eds.), Springer Verlag.
11. Kyrtsou, C. and W. Labys, (2006). Evidence for chaotic dependence between US inflation and commodity prices, Journal of Macroeconomics, 28(1), pp. 256–266.
12. Kyrtsou, C. and W. Labys, (2007). Detecting positive feedback in multivariate time series: the case of metal prices and US inflation, Physica A, 377(1), pp. 227–229.
13. Michel Vellekoop; Raoul Berglund, “On Intervals, Transitivity = Chaos,” The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 4. (April, 1994), pp. 353–355
14. Saber N. Elaydi, Discrete Chaos, Chapman & Hall/CRC, 1999
15. William F. Basener, Topology and its applications, Wiley, 2006